Genaue Bogenlänge einer Ellipse

Es soll die genaue Bogenlänge einer Ellipse, mit a=8 und b=5 berechnet werden!

Ellipsengleichung: 1=y^2/25+x^2/64

Annahme: Ellipse in 8, flächenmäßig gleichgroße Teile zerlegen...; Grenze=pi/4

die ist möglich, wird noch bestätigt, flächenmäßig: Link, siehe ganz unten |A₁|=|A₂|

Link: Integration einer komplexen Zahl, Einsetzungsverfahren

A_ges=a*b*pi=5*8*pi=125,6637 und die Bogenlänge, Näherungsweise: B_ges=41,38628

1/4*A_ges=31,415926, daraus folgt 1/8*A_ges=15,70796

Ich habe nachgewiesen durch eine entsprechende Integration, daß die Flächen A und B gleichgroß sind und die Fläche B, wie bei einem Kreis, symmetrisch ist!!!!

Das Dreieck P₀ zu S zu P₀₅ ist gleichgroß wie das Dreieck P₀ zu S zu P₈₀.

Nur auf Grund dieser Flächengleichheit ist eine Zerlegung in 8 gleichgroße Ellipsenstücke möglich!!!!

Damit müsste doch auch eine Abhängigkeit der Bogenlängen zueinander, durch diese Flächengleichheit, vorhanden sein......!!!!!

Schnittpunkt S ergibt sich zu S=[a*cos(ß) ; b*sin(ß)]=[5,65685 ; 3,535533] mit ß=pi/4

Sekanten:

S1: y= 3,535533-(3,535533/(8-5,65685))*(x-5,65685)

S2: y= 5-((5-3,535533)/5,65685)*x

S3, Hauptsekante: y= 5-5/8*x

Sekante P[0;0] zu S ergibt sich zu y=5/8x

Gerade Punkt S zur Hauptsekante: m=-1/m, Punkt S Einsetzen usw. y=8/5*x-5,515427, dies ist die Gerade QS

Schnittpunkt der Geraden QS mit S3 ergibt Q: Schnittpunkt von 5-5/8*x = S3 = 8/5*x-5,515427 = QS

Q=[4,7260346 ; 2,04622837], die Länge von QS ergibt sich damit zu 1,7562589

Länge von S zu P[0;5]=5,84333941

Winkel sin(ß) = QS/S zu P[0;5]=0,3005574, daraus folgt: ß=0,305277rad=17,4911°

Länge von S zu P[8;0]=4,2415027

Winkel sin(ß) = QS/S zu P[8;0]=0,4140652, daraus folgt: ß=0,4269156rad=24,4605°

Berechnung der Bogenlängen:

Der Kreisbogen b1 wurde iterativ, durch 3 Wertepaare berechnet, man hätte auch die Orthogonale auf S2 zur Berechnung mit heranziehen können. Der Kreisbogen wird immer da berechnet, wo die kurze Halbachse Kontakt zum Kreisbogen hat, man würde dies deutlich sehen, wenn das Verhältnis der Halbachsen der Ellipse zueinander noch größer wäre.

folgende Ergebnisse wurden berechnet:

ß=14,51428° der Kreismittelpunkt befindet sich bei P[ 0,26984090 ; -5,61537505 ] der Radius beträgt 10,618804156

man sieht am Bild, daß der Kreisbogen b1 gut die Ellipse überdeckt

für den Kreisbogen b1 habe ich einen Wert von 5,9063068 ermittelt, was im Bereich des Möglichen wäre

leider kommt jetzt mein Problem, daß ich nicht in der Lage bin, auch unter zu Hilfenahme verschiedener Abhängigkeitsbeziehungen, wie das Verhältnis der Teilflächen der Dreiecke unter den Bogenflächen bzw. der Sekantenlängen S1 und S2 zueinander, den zweiten Bogen, der Fläche A, zu berechnen, so das sich die weiter oben richtige Gesamtbogenlänge der Ellipse ergibt, müsste doch eingentlich möglich sein, da die Teilflächen A und B gleichgroß sind

es sind Ungenauigkeiten im Zehntelbereich vorhanden, obwohl ich mit 5 bis 6 Dezimalstellen gerechnet habe, kann ich mir nicht erklären....

Sollte mir diesbezüglich jemand helfen können, wäre ich dankbar, siehe Kontaktmöglichkeiten auf meiner Website.....!!!!!

Berechnung der genauen Bogenlänge einer Ellipse durch Ihre inverse Funktion

Problem/Ansatz:

Ellipse x^2/64+y^2/25=1, mit a=8, b=5, Halbachsen

y=+-5*(1-x^2/64)^0.5 Vereinfachung für die Bogenlänge: y=2*5/8*(8-x)^0.5*(8+x)^0.5=5/4*y_inv1*y_inv2

y₁=-x^2+8 y₂=x^2-8 y₁=-y₂ y_inv=inverse Funktion

die Bogenlänge von y und y_inv sind gleich, in den entsprechenden modifizierten Grenzen, deshalb eine Integration von y*y

Leider bin ich nicht in der Lage, das entsprechende Integral zu lösen!!!!!!

Berechnung des Ellipsenumfanges, mit Kreischarakter bei ß=pi/4, über das Integral der Krümmungen

Problem/Ansatz:

Das Integral der Krümmung einer Ellipse mit a=8 und b=5 ist gleich dem Integral der Krümmung eines Kreises mit r=8!

Kreis: y^2+x^2=64 y=(64-x^2)^(1/2) y'=-x/(64-x^2)^(1/2) y''=-64/(64-x^2)^(3/2) Krümmung k=y''/(1+(y')^2)^(3/2)

Das Integral der Krümmung von 0 bis 8 ergibt: -1 (.....im Viertelkreis)

Ellipse: a=8,b=5 y^2/b^2+x^2/a^2=1 y=5*(1-x^2/64)^(1/2) y'=-5x/(8*(64-x^2)^(1/2)) y''=-40/(64-x^2)^(3/2) Krümmung k=.....

Das Integral der Krümmung von 0 bis 8 ergibt: -1 (.....Viertelellipse)

Das Integral der Krümmung von 0 bis pi/4=-1/2= Integral der Krümmung von pi/4 bis pi/2, bei einer Ellipse,
(Kreischarakter!)

Kreis: in 8 Kreissektoren unterteilt, wie die Ellipse bei der Berechnung des Integrals der Krümmung, siehe darüber
                  1/8*U/S    U=Kreisumfang=2*pi*r S ist die zugehörigen Kreissehnenlänge
                  r=5 1/8*U/S=3,927/3,827=1,02616                   r=8 =6,283/6,123=1,02616

Diese drei Eigenschaften, die Gleichheit des Integrals der Krümmungen, das gleiche Verhältnis des Kreisumfanges zur Sehnenlänge und die Gleichheit der Flächen A und B, ermöglichen es, die Ellipse von 0 bis pi/4 und pi/4 bis pi/2, also eine Viertelellipse, wie einen Kreis bei der Berechnung des Umfanges zu behandeln!!!!!

S1=4,2415027 S2=5,84333941 Siehe Bild ganz oben!!!!!

(5,84333941+4,2415027)*4*1,02616= 41,394646 bisher, näherungsweise: 41,38

Dezimalfehler in der Berechnung führe ich auf ein ungenaues Rechnen bei S1 und S2 eventuell zurück.

Man erkennt deutlich den Kreischarakter der Viertelellipse in den beiden Bereichen.

Ich hoffe, dies ist nun endlich alles richtig. Viele Grüße, Bert Wichmann!