Graphische Integration

Es soll exemplarisch die Möglichkeit einer graphischen Integration für ein einfaches Beispiel aufgezeigt werden!

folgender Ansatz wird verwendet: f(f(x))=x*f'(f'(x))*k=r(x)*f'(f'(x)), siehe Bild 1! Dabei ist für mein Beispiel r(x)=k*x!

Die Bilder 1 und 2 stellen unterschiedliche Beispiele, der einfachen Anschauung und Konstruktion der Graphen wegen, dar!

Die Herleitung für dieses Beispiel:

f(x)=k/(n+1)*x⁽ⁿ⁺¹⁾=k/(n+1)*x*xⁿ, f'(x)=k*xⁿ, f'(f'(x))=k*kⁿ*x^n*n

f(f(x))=k/(n+1)*(k/(n+1))ⁿ*x^n*(n+1)*k/(n+1)*x⁽ⁿ⁺¹⁾, damit ergibt sich folgende Gleichung:

f(f(x))/f'(f'(x))=r(x)=k/(n+1)⁽ⁿ⁺²⁾*x⁽²ⁿ⁺¹⁾, für dieses gewählte Beispiel!

damit ist f(x)aus f(f(x)) ermittelbar, siehe Bild 2!

Dies ist ein einfaches Beispiel, wie schon gesagt, exemplarisch für eine graphische Integration! Die Funktion f(f(x)) möchte ich als Stützfunktion bezeichnen, da ein Wert den anderen bestimmt und daraus sich die Funktion f(x) ableiten lässt! Die Funktion r(x) muß dabei jeweils für einen anderen Funktionstypen für f(f(x)) modifiziert werden! ( zb. e^x, 1/xⁿ)!!!!

Damit lässt sich ein Integral graphisch/rechnerisch aus r(x) und f'(f'(x)) ermitteln!

Nachweis für r(x) für dieses Beispiel

f'(f'(x))*f''(x)=(f(f'(x)))' Kettenregel, f'(f'(x))*r(x)=f(f(x)) graphische Integration, daraus folgt:

f(f(x))=r(x)*(f(f'(x)))'/f''(x)

f(x)=k/(n+1)*x⁽ⁿ⁺¹⁾, f'(x)=k*xⁿ, f'(f'(x))=k*kⁿxⁿⁿ, f''(x)=k*n*x^(n-1)

r(x)=k/(n+1)⁽ⁿ⁺²⁾*x⁽²ⁿ⁺¹⁾, r(x)/f''(x)=x⁽ⁿ⁺²⁾/((n+1)⁽ⁿ⁺²⁾*n)

(f(f'(x)))'=k/(n+1)*k⁽ⁿ⁺¹⁾*(n²+n)*x^(n2+n-1)

f(f(x))=kⁿ*k²*x^(n2+2n+1)/(n+1)⁽ⁿ⁺²⁾

f(x)=k/(n+1)*x⁽ⁿ⁺¹⁾, f(f(x))=k*k*kⁿ/((n+1)⁽ⁿ⁺¹⁾*(n+1))*x^(n+1)*(n+1)

f(f(x))=kⁿ*k²*x^(n2+2n+1)/(n+1)⁽ⁿ⁺²⁾

Damit wurde gezeigt, daß r(x) für dieses Beispiel graphisch richtig bestimmt wurde!

Graphische Integration einer DGL 2.Ordnung

Aufgabe:

Lösung einer DGL 2. Ordnung mit dem graphischen Verfahren:

y''-6y'+5y=e^2x

Problem/Ansatz:

y''(y'')-36y'(y')+25y(y)=e^{2e^(2x)}

y(y)=r(x)*y'(y'), daraus folgt:

y''(y'')-36y(y)*1/r(x)+25y(y)=e^{2e^(2x)}

Ansatz: y(y)=e^{ke^(nx)} nx=ke^(nx) y=k/n*e^(nx) y'=ke^(nx) y'(y')=ke^{kne^(nx)}

daraus folgt: r(x)=y(y)/y'(y')=e^{ke^(nx)}/ke^{kne^(nx)}=1/ke^{ke^(nx)}    (n=2!!!!!, siehe Ansatz!)

y''=kne^(nx)   y''(y'')=kne^{kn^2*2e^(nx)} , daraus folgt

2k^{4ke^(2x)}-36ke^{2ke^(2x)}+25e^{ke^(2x)}=e^{2e^(2x)}

2x=4ke^2x x=2ke^2x=y''

2x=2ke^2x x=ke^2x=y'

2x=ke^2x    x=1/2ke^2x=y, daraus folgt:

y''-6y'+5y=e^2x

2k-6k+5/2k=1

k=-2/3      n=2

y=k/ne^nx=-1/3e^2x

Probe: e^2x=e^2x

Damit wurde die DGL nach meiner graphischen Variante gelöst! Es sind damit alle Integrale lösbar, da diese Vorgehensweise auch für eine Funktion f(g(x)), mit einem modifizierten r(x), von mir überprüft, gilt!!!!