Integration einer Funktion unter Verwendung der 1. und 2. Ableitung

folgendes Integral soll mit Hilfe der 1. und 2. Ableitung einer Funktion berechnet werden:

Integral (4x^4-4x^2+1)dx=4/5x^5-4/3x^3+x=F(x)

folgender Ansatz, den ich beim erfolglosen Berechnen des Gaußschen Fehlerintegrals unter zu Hilfenahme einer binomischen Gleichung ermittelt habe, soll gelten:

f(x)*f'(x)/f''(x)=(16x^3-8x)/(48x^2-8)*(4x^4-4x^2+1)=(8x^7-12x^5+6x^3-x)/(6x^2-1)

es soll gelten: F(x)=4/5x^5-4/3x^3+x=(a*8x^7-b*12x^5+c*6x^3-dx)/(6x^2-1)

(6x^2-1)*(4/5x^5-4/3x^3+x)=(a*8x^7-b*12x^5+c*6x^3-dx), Koeffizientenvergleich ergibt:

x^7: a=24/40, x^5:b=132/180; x^3:c=22/18; x:d=1, diese konstante Faktoren werden gesucht


f(x)*f'(x)/f''(x)*s(a,b,c,d)=F(x) Ableitung bilden und die konstanten Faktoren ermitteln, wieder durch einen Koeffizientenvergleich

s(a,b,c,d)*((f(x)*f'(x)/f''(x))'=f(x)

a=(144x^8)/(240x^8)=12/20

b=(192-56a)x^6/(216x^6)=132/180

c=-(60b-88)x^4/(36x^4)=22/18

d=1

Damit wurde eine alternative Integralberechnung aufgezeigt. Vielleicht sind damit ja auch komplizierte Integrale berechenbar, für eine Beurteilung dieser Frage wäre ich dankbar! Das Gaußsche Fehlerintegral mit dieser Methode zu berechnen funktioniert leider nicht, da habe ich mich getäuscht!

weiterführende Berechnungen für die Integration bei s(x)



Berechnung der Funktion f(x) mit der Kettenregel und der ersten und zweiten Ableitung:

f'(f'(x))*f''(x)=(f(f'(x)))'

Beispiel: f'(x)=k*xg     f''(x)=k*g*x(g-1)    f(x)=k/(g+1)*x(g+1) und f'(f'(x))=k*kg*xgg

f'(f'(x))=1/f''(x)*(f(f'(x)))'

f'(f'(x))=1/(k*g)*x(1-g)*(k*k(g+1)*1/(g+1)*xg*(g+1))'=k*kg*xgg

k(g+1)*xgg=k*kg*xgg



Bestimmung von f(x):

f'(f'(x))*f''(x)=k2*kg*g*x(gg+g-1)=(f(f'(x)))'

Integral f'(f'(x))*f''(x) dx=k2*kg*g/(g*g+g)*x(gg+g)=f(f'(x1))

f'(x1)=k*xg, daraus folgt: x2=k*x1g     x1=(x21/g*k-1/g)=a

k2*kg*g/(g*g+g)*x(gg+g)=k2*kg*1/(g+1)*x2(gg+g)

daraus folgt: f(x)=k2*kg*1/(g+1)*a(gg+g)=k2*kg*1/(1+g)*k(-g-1)*x1(g+1)

f(x1)=k/(g+1)*x1(g+1)


weiterführende Berechnungen für die verkettete Funktion, siehe ganz oben