Integration einer verketteten Funktion von Innen nach Außen

1.Beispiel

folgendes Beispiel wurde berechnet, ein allgemeingültiges Polynom:

y=(1-2x2)2=(xr-xn)k  das Integral dieser Funktion ergibt sich damit zu 4/5x5-4/3x3+x=F(x), folgender Lösungsansatz mit dem Aufschlüsseln der inneren Funktion wurde von mir ermittelt:

Integral der inneren Funktion u=1-2x2 ergibt damit: F2(x)=x-2/3x3

die Ableitung der äußeren Funktion ergibt damit: f'(u)=2*u=2*(1-2x2)

das Produkt dieser beiden Ergebnisse ergibt: 8/3x5-16/3x3+2x=F1(x)=f'(x)*F2(x)

folgender Ansatz soll gelten: a*8/3x5-b*16/3x3+c*2x=F(x), (damit ergibt sich a=3/10, b=1/4 und c=1/2)

Berechnung der konstanten Faktoren a, b, c:

s=f(a,b,c), daraus folgt: s*F1(x)=F(x), diese Gleichungen aufstellen, integrieren bzw. differenzieren ergibt:

a=(n+1)/(k*(n*k+1)), c=(r+1)/(k*(r*k+1)) und b=1/(n+r+1)*(1/(r+1)+1/(n+1))(-1) , mit r=0, n=2, k=2

man sieht an diesem Beispiel, daß der Faktor b nur von r und n abhängig ist

Dieser Lösungsansatz hat eine allgemeingültige Aussagekraft hinsichtlich der Integration einer verketteten Funktion!



ein anderes Lösungsverfahren für die Ermittlung der konstanten Faktoren für oben stehende Aufgabe:

Integral y=(1-2x^2)^2dx  u=1-2x^2 Integral u(x) dx=x-2/3x^3 Ableitung der äußeren Funktion: (u^2)'=2u=2*(1-2x^2)

Produkt des Integrales und der Ableitung von u, Multipliziert mit dem konstanten Faktor a ergibt damit:

a*(8/3x^5-16/3x^3+6/3x)= Integral (1-2x^2)^2 dx

Ableitung dieser beiden Gleichungen bilden:

a*(40/3x^4-16/1x^2+2)=(1-2x^2)^2

damit ergibt sich a zu: 12x^4/40x^4-12x^2/(-48x^2)+3/6, damit können die konstanten Faktoren für a ermittelt werden:

b=3/10 c=1/4 und d=1/2 a=f(b, c, d)

das Gesamtergebnis der Ausgangsgleichung soll sein:

y=4/5x^5-4/3x^3+x=b*8/3x^5-c*16/3x^3+d*6/3x



2.Beispiel, Berechnung des Integrales von y=2^x dx=2^x/ln(2)

Berechnung des Integrales von y=2^x dx

u=x   Integral u(x)dx=1/2*x^2

Ableitung der äußeren Funktion 2^u=ln(2)*2^x

Produkt dieser beiden Terme mit dem konstanten Faktor (Siehe ganz unten!) a: a*(1/2*x^2*ln(2)*2^x)= Integral 2^x dx

Ableitung bilden: ln(2)*x*(ln(2)*x+2)*2^(x-1)*a=2^x, daraus folgt:

a=2/(ln(2)*x*(ln(2)*x+2))

der Summand "2" fällt heraus, da es nur einen Term in der Ausgangsgleichung gibt.....??????

das Integral 2^x dx ergibt sich damit, wieder mit dem konstanten Faktor a=2/(ln(2)*x*(ln(2)*x)) für den einen Term zu: 2^x/ln(2)

Die vormalige Berechnung des Gaußschen Fehlerintegrales, hier an dieser Stelle, war falsch von mir(y=e^(-x^2)).



3.Beispiel, Berechnung des Integrales von y=1/x^2dx

u=x^2 Integral u(x)dx=1/3*x^3 äußere Funktion Ableiten: (1/u)'= -1/x^4

Produkt mit dem konstanten Faktor a: 1/3*x^3*(-1/x^4)*a= Integral 1/x^2dx

Ableitung dieser Funktionen ergibt für a=3

Probe: -1/x^4*1/3*x^3*3= Integral 1/x^2 dx= -1/x

Eine Forderung muß bei diesem Vorgehen jedoch gewährleistet sein, a muß ungleich Null sein!

Hauptaugenmerk gilt den konstanten Faktoren, deren Konstanz jeweils auf einen Term bezogen wird.

Ansatzpunkt war die Berechnung einer Funktion, von Innen nach Außen, bzw. resultierend daraus deren Integrale von Innen nach Außen!

Sollte Jemanden ein Fehler in den Berechnungen auffallen, dann wäre ich dankbar, wenn man dies mir mitteilen würde! Dankeschön!