Möchte ein Polynom 3. Grades, zumindest teilweise, durch Parabeln darstellen!
y1=1/3x3-x+2/3
y2=a(x-ß)2+y0 Parabel in Scheitelpunktform
es soll gelten: y1=y2 und y1'=y2';
y1'=y2'=2a(x-ß)=x2-1; x-ß=(x2-1)/2a; ß=x-(x2-1)/2a;
y2=a(x-ß)2+y0; für ß Einsetzen y3=a(x-x+(x2-1)/2a)2+y0; y3=(x2-1)2/4a+y0
Extremwerte dieser Funktion: y3'=0=2*2x(x2-1)/4a; x1=0; x2/3=+-1, nur zur Probe!
gemeinsame Schnittpunkte:
y3=y2, daraus folgt: a(x-ß)2+y0=(x2-1)2/4a+y0, daraus folgt: 4a2(x-ß)2=(x2-1)2 Wurzel ziehen und nach x Auflösen!
x1/2=a+-(a2-2aß+1)1/2, des Weiteren soll gelten:
y3'=y1', der Anstieg der beiden Funktionen soll in x1/2 gleich groß sein, auch mit der Funktion y2' ,daraus folgt:
y3'=x(x2-1)/a
y1'=x2-1, daraus folgt: y1'=y3' (x3-x)/a=x2-1, x3-a*x2-x+a=0, daraus folgt, daß eine Nullstelle dieser Funktion bei x=a liegt!, die anderen beiden bei 1 und -1, x=a ist interessant, da dies der Schnittpunkt dieser 3 Funktionen y ist!
ermittelt wurde, Siehe weiter oben, x1/2=a+-(a2-2aß+1)1/2 mit x1/2=a folgt daraus: a=a+-(a2-2aß+1)1/2
a ist demnach: a=ß+-(ß2-1)1/2 ,dies war ja eine quadratische Gleichung für a
an der Stelle x=a sollen die Ableitungen gleich groß sein: y1'(a)=y2'(a)=y3'(a)
meine Frage, wie komme ich jetzt zum Schnittpunkt, der alle Forderungen, Funktionswerte und Ableitungen sollten bei allen Funktionen übereinstimmen, y1=y2=y3 und die Ableitungen dieser Funktionen sollen in x=a gleich groß sein!!!!!!!
Habe dies für a=x=2 näherungsweise ermittelt bzw. die Graphen gezeichnet, komme einfach nicht auf den Schnittpunkt, um damit die Deckungsgleiche Parabel in Scheitelpunktform mit dem Polynom 3. Grades genau berechnen zu können!!!
Es ist leider so nicht möglich, es besteht keine direkte Proportionalität zwischen a=x und ß!!!!!!
Ein anderer Ansatz führt schneller zum Ziel: Drehen der Funktion y=(x-1)2, bis diese in das Polynom 3. Grades übergeht!
Drehmatrix: x2=x*cosß-y*sinß
für ß=8,13° und y=(x-1)2
x2=0,98995x-0,1414(x-1)2
für y2=(x2-1)2 x2 Einsetzen und es entsteht damit ein Polynom 4. Grades
der effektivste Weg das Polynom 3. Grades bis zum Wendepunkt darzustellen