Energiedifferenz einer Welle/Schwingung

alles Einheitslos, es wirkt nur die Gewichtskraft, daraus folgt dieser spezifische Wellencharakter

Wellengleichung der Form ß^-3*x^4-2/ß*x^2+ß=y(ß)

von mir im Abschnitt von x=0 bis 2 und ß=2 betrachtet

y=1/8*x^4-x^2+2

Fläche der Welle im Gültigkeitsbereich von x:

A=Integral von 0 bis 2 ydx= (1/40x^5-1/3x^3+2x) von 0 bis 2=32/15=2,1333

Berechnung des Flächenschwerpunktes der Welle:

xs=1/A Integral von 0 bis 2 xdA=1/A Integral x*ydx von 0 bis 2= 1/A(1/48*x^6-1/4x^4+x^2) von 0 bis 2=30/48=0,625

ys=1/A Integral von 2 bis 0 ydA=1/A Integral x*ydy von 2 bis 0=1/A Integral y*x*f'(x)dx von 2 bis 0= 16/21=0,761904

Damit ergibt sich ein Flächenschwerpunkt der Welle von Ps(0,625;0,761904)!

mittlere potentielle Energie der Welle = mittlere kinetische Energie der Welle

Epot=m*g*h=Ekin=1/2mv^2

v=(2axs)^0,5

E=9,81*0,761904=ax*0,625

ax=11,958

Wellengleichung Beispiel: ß^-3*x^4-2/ß*x^2+ß=y(ß)

Bogenlänge der Welle: s= Integral von (1+ y'(ß)^2)^0,5 dß

Beispiel: ß=2, s=2,92186 Bogenlänge

Berechnung der Wellenlänge: x=(s^2-ß^2)^0,5= 2,13, siehe weiter oben Flächeninhalt!

Gleichung für die Sekante zwischen (0/ß) und (2,13/0)

y=-0,9389x+2

delta x=2,13-2= 0,13

delta Epot=ax*0,13; delta h2=delta Epot/9,81=0,15846 h2=2-delta h2=1,8415

Zusammenfassend kann gesagt werden:

1. Jede Welle, Schwingung hat bei alleinigem Wirken der Schwerkraft einen spezifischen Wellencharakter.

2. Dieser wird immer durch eine Reduktion der Beschleunigung in x-Richtung, ax beschrieben.

3. Je größer die Bindungskräfte der Materie, bei einer Welle sind, desto größer ist diese Reduktion.

Berechnung des Stauchungsfaktors k2=h2/h1= 1,8415/2=0,92075

Streckungsfaktor x = Stauchungsfaktor y unter Berücksichtigung der modifizierten Funktionsgrenze, siehe weiter unten Flächenberechnung A2

damit ergibt sich folgende Gleichung für die zweite Welle, unter der Forderung, daß die Fläche A1=A2 konstant bleibt:

y2=0,92075*(1/8(0,92075*x)^4-(x*0,92075)^2+2)

obere Integralgrenze für die zweite Welle: 2/0,92075=2,172142 dieser Wert ist zugleich eine Nullstelle von y2!!!!!

A2= Integral von 0 bis 2,172142 y2dx=2,13333=A1

damit ergibt sich folgender Flächenschwerpunkt für die zweite Welle:

xs2=0,67879446; ys2=0,701523108

ax2=10,13847651 damit ist ax>ax2, was zu erwarten war, da delta x immer größer wird!!!

x2=2,42492

delta x2=0,255

Höhe der 3. Welle: h3=1,7364616

Stauchungsfaktor k3=1,7364616/2 !!!!!!=0,8682308

Gleichung für die 3. Welle: y3=0,8682308*(1/8*(0,8682308*x)^4-(0,8682308*x)^2+2), unter der Forderung, daß A1=A2=A3

xs3=0,7198546; ys3=0,661508

Nullstelle bzw. obere Integrationsgrenze von y3 ergibt sich aus 2/0,8682308=2,3035349

x3=2,62245, daraus folgt, daß delta x3=0,318916 ist!!

ax3=9,01487

Wellenparameter
Höhe h Stauchungsfaktor k delta x xs ys
Welle 1 2 1 0,13 0,625 0,761904
Welle 2 1,8415 0,92075 0,255 0,67879446 0,701523108
Welle 3 1,7364616 0,8682308 0,318916 0,7198546 0,661508

Von elementarer Bedeutung für diese Berechnung ist der Stauchungs- bzw. Streckungsfaktor k!!!!!

Damit ist wie weiter oben schon angenommen, die Bewegung der Welle in x-Richtung zunehmend. Die Energiedifferenz zwischen den Wellen nimmt ab.

weiterführende Berechnungen, Differentiationsansatz: