Energiedifferenz einer Welle/Schwingung

alles Einheitslos, es wirkt nur die Gewichtskraft, daraus folgt dieser spezifische Wellencharakter

Wellengleichung der Form ß^-3*x^4-2/ß*x^2+ß=y(ß)

von mir im Abschnitt von x=0 bis 2 und ß=2 betrachtet

y=1/8*x^4-x^2+2

Fläche der Welle im Gültigkeitsbereich von x:

A=Integral von 0 bis 2 ydx= (1/40x^5-1/3x^3+2x) von 0 bis 2=32/15=2,1333

Berechnung des Flächenschwerpunktes der Welle:

xs=1/A Integral von 0 bis 2 xdA=1/A Integral x*ydx von 0 bis 2= 1/A(1/48*x^6-1/4x^4+x^2) von 0 bis 2=30/48=0,625

ys=1/A Integral von 2 bis 0 ydA=1/A Integral x*ydy von 2 bis 0=1/A Integral y*x*f'(x)dx von 2 bis 0= 16/21=0,761904

Damit ergibt sich ein Flächenschwerpunkt der Welle von Ps(0,625;0,761904)!

mittlere potentielle Energie der Welle = mittlere kinetische Energie der Welle

Epot=m*g*h=Ekin=1/2mv^2

v=(2axs)^0,5

E=9,81*0,761904=ax*0,625

ax=11,958

Wellengleichung Beispiel: ß^-3*x^4-2/ß*x^2+ß=y(ß)

Bogenlänge der Welle: s= Integral von (1+ y'(ß)^2)^0,5 dß

Beispiel: ß=2, s=2,92186 Bogenlänge

Berechnung der Wellenlänge: x=(s^2-ß^2)^0,5= 2,13, siehe weiter oben Flächeninhalt!

Gleichung für die Sekante zwischen (0/ß) und (2,13/0)

y=-0,9389x+2

delta x=2,13-2= 0,13

delta Epot=ax*0,13; delta h₂=delta Epot/9,81=0,15846 h₂=2-delta h₂=1,8415

Zusammenfassend kann gesagt werden:

1. Jede Welle, Schwingung hat bei alleinigem Wirken der Schwerkraft einen spezifischen Wellencharakter.

2. Dieser wird immer durch eine Reduktion der Beschleunigung in x-Richtung, ax beschrieben.

3. Je größer die Bindungskräfte der Materie, bei einer Welle sind, desto größer ist diese Reduktion.

Berechnung des Stauchungsfaktors k₂=h₂/h₁= 1,8415/2=0,92075

Streckungsfaktor x = Stauchungsfaktor y unter Berücksichtigung der modifizierten Funktionsgrenze, siehe weiter unten Flächenberechnung A₂

damit ergibt sich folgende Gleichung für die zweite Welle, unter der Forderung, daß die Fläche A₁=A₂ konstant bleibt:

y₂=0,92075*(1/8(0,92075*x)^4-(x*0,92075)^2+2)

obere Integralgrenze für die zweite Welle: 2/0,92075=2,172142 dieser Wert ist zugleich eine Nullstelle von y₂!!!!!

A₂= Integral von 0 bis 2,172142 y₂dx=2,13333=A₁

damit ergibt sich folgender Flächenschwerpunkt für die zweite Welle:

xs₂=0,67879446; ys₂=0,701523108

ax₂=10,13847651 damit ist ax>ax₂, was zu erwarten war, da delta x immer größer wird!!!

x₂=2,42492

delta x₂=0,255

Höhe der 3. Welle: h₃=1,7364616

Stauchungsfaktor k₃=1,7364616/2 !!!!!!=0,8682308

Gleichung für die 3. Welle: y₃=0,8682308*(1/8*(0,8682308*x)^4-(0,8682308*x)^2+2), unter der Forderung, daß A₁=A₂=A₃

xs₃=0,7198546; ys₃=0,661508

Nullstelle bzw. obere Integrationsgrenze von y₃ ergibt sich aus 2/0,8682308=2,3035349

x₃=2,62245, daraus folgt, daß delta x₃=0,318916 ist!!

ax₃=9,01487

Von elementarer Bedeutung für diese Berechnung ist der Stauchungs- bzw. Streckungsfaktor k!!!!!

Damit ist wie weiter oben schon angenommen, die Bewegung der Welle in x-Richtung zunehmend. Die Energiedifferenz zwischen den Wellen nimmt ab.

Grenzfall der Turbulenz einer Flüssigkeit

Aufgabe:

Es soll physikalisch der Grenzfall bestimmt werden, ab dem eine Flüssigkeit in eine Turbulenz gerät! Dies ist der Fall, wenn die Bindungskräfte des Mediums, ich möchte sie einmal Viskositätskraft nennen, kleiner sind, als die anderen, anliegenden "Bewegungskräfte", zb. Reibungskräfte in einem Rohr, durch das eine Flüssigkeit strömt.

Problem/Ansatz:

die über dieser Aufgabe stehenden Vorüberlegungen wurden von mir genutzt:

Berechnung der potentiellen Energie am jeweiligen (!) Schwerpunkt der Welle 1,2,3, auch hier ist alles Einheitslos!

E_pot=   1: 7,474278     2: 6,88194169       3: 6,48939348

Verhältnis der pot. Energien für die einzelnen Wellen, bei gleichem Wellencharakter, was noch gezeigt wird...:

1/2: 1,086071  und 2/3: 1,06049047

Berechnung der kinetischen Energie, Einheitslos, bei y=0, es liegt keine pot. Energie vor, deshalb...:

E_kin1=m/2*2as=23,916   E_kin3=20,76605     es gilt bei gleichem Wellencharakter: E_pot1/E_pot3=E_kin1/E_kin3

7,474278/6,48939348=23,916/20,76605=1,1517, damit wurde der gleiche Wellencharakter bewiesen

Berechnung der Energiedifferenz zwischen den einzelnen Wellen, der ein Ausdruck für die Viskosität des Mediums ist (am Wellenschwerpunkt, jeweils):

delta E₁=E_pot1-E_pot2=0,59233631     und         

delta E₂=E_pot2-E_pot3=0,39254821, Gesamtsumme delta E=0,98488452 und  dies ist, da nur die Schwerkraft wirkt, ein Ausdruck der Viskosität der Welle, des Mediums:

delta E=rho*A*l*g*delta h 

A=Wellenquerschnitt =2,133333, delta h=y_s1-y_s3, l ist egal, da der Querschnitt der Welle nur betrachtet wird

delta E ergibt sich damit zu F_v* delta h, F_v ist die von mir ganz oben bezeichnete Viskositätskraft!

Zu einer Turbulenz kommt es, wenn F_v<F_R , der zb. Reibungskraft in einem durchflossenen Rohr ist!

Die Viskosität wird durch die pot. Energieänderung hinreichend genau beschrieben, da bei diesem Fall immer, es wirkt nur die Gewichtskraft, der obere Teil der Welle konkav ausgebildet ist und der untere konvex! Des Weiteren werden x und y von x=0 bis y=0, in dieser Wellenrichtung, stetig größer bzw. stetig kleiner!