Polynome für die Sinusfunktion von x= 0 bis 1 und 1 bis pi/2

1.Abschnitt von x= 0 bis 1:

teilweise weiterführende Berechnung von der Berechnung des Polynomes des arcsinx,vorhergehender Link auf meiner Website

arcsin(x)=1/g1*(1-(1-(x*1/g2)^2)^0.5)^0.5/
(1-(x*1/g2)^2)^0.25=u/a

Bildung der inversen Funktion:

sinx=g1*g2*x*(g1^2*x^2+2)^0.5/
(g1^4*x^4+2*g1^2*x^2+1)^0.5

mit g1=0.5228504671290 und g2=1.36658


2.Abschnitt von x= 1 bis pi/2:

Ansatz: y=k*(1-p*(1-x^2/m)^0.5)^0.5+n = u = sinx

z=(1-x^2/m)^0.5 daraus folgt: z^2=1-x^2/m, dies entspricht einer Ellipsengleichung mit

x=m^0.5*cosx und y=1^0.5*sinx, daraus folgt:

y=k*(1-p*(1-m*(cosx)^2/m)^0.5)^0.5= sinx

damit ergibt sich y=k*(1-p*sinx)^0.5= sinx

diese Gleichung soll bei x=pi/2 gelten von 1 bis pi-1

x=pi/2 einsetzen ergibt: 1=k*(1-p)^0.5 und k^2=(sinx)^2/(1-p*sinx)

diese beiden Gleichungen nach der Umformung gleichsetzen, ein Schnittpunkt, Siehe Bild

Schnittpunkt bei k=pi/2 und damit p=0.5947152654

damit ergibt sich für den Sinus in diesem Bereich folgende Gleichung

sinx=pi/2*(1-0.5947152654*(1-(x-pi/2)^2/m)^0.5)^0.5+2

Funktionswert bei x=1 Einsetzen ergibt für m=0.790781

Die Endgleichung für den Sinus im 2. Abschnitt lautet damit:

sinx=-pi/2*(1-0.5947152654*(1-(x-pi/2)^2/0.790781)^0.5)^0.5+2



Damit ergibt sich der Faktor k als Funktion des Faktor's p, so wie von mir vorhergesehen, unabhängig vom Faktor m!

Die Ermittlung von k zeigt deutlich, daß der Sinus auch in diesem 2. Bereich durch ein Polynom genau dargestellt werden kann!!!!

Die Ungenauigkeiten der Grafik führe ich auf ein nicht genaues Rechnen meinerseits, Dezimalstellen, zurück!

Sollten Fehler in der Berechnung sein und dies sollte jemanden auffallen, dann bitte mich Kontaktieren!

weiterführende Berechnungen, Integral mit konstanten Faktoren und der 1. und 2. Ableitung ermitteln



Graph der Errorfunktion / Gaußsches Fehlerintegral



Die im Bild eingezeichneten 4 Wertepaare (= 4 Konstanten, iterativ) wurden von einem Online-Rechner für die Fehlerfunktion übernommen, ....auch so lässt sich die Errorfunktion berechnen!




Krümmungsverhalten von Graphen / Berechnung der Errorfunktion


Es soll die Errorfunktion unter zu Hilfenahme des Krümmungsverhaltens von zusammengesetzten Funktionen berechnet werden!

Krümmung k=f''/(1+f'^2)^(3/2)

Es ist eine Funktion der Form f3=f1*f2 vorgegeben...!


Link: Zwei Wege, die Errorfunktion richtig zu berechnen!


x*k*e^(-x^2)*e^(-x)=Integral e^(-x^2)dx, siehe unteres Ergebnis bei dieser Aufgabenstellung...., k ist hier ein Faktor, keine Krümmung, unglücklich gewählt....., konnte ich nicht wissen...!

f'3=f'1*f2+f1*f'    f''3=f''1*f2+2f'1*f'2+f''2*f1

k3=(f''1*f2+2f'1*f'2+f''2*f1)/(1+(f'1*f2+f'2*f1)^2)^(3/2)

f3=f1*f2, daraus folgt:

k1*k2=(f''1*f''2)/((1+f'1^2)*(1+f'2^2))^(3/2)

Es gilt: k3=a*k1*k

a=(f''1*f2+2f'1*f'2+f''2*f1)/(1+(f'1*f2+f'2*f1)^2)^(3/2))*((f''1*f''2)/((1+f'1^2)*(1+f'2^2))^(3/2))^(-1)

Beispielrechnung:

x^5=x^3*x^2=f3=f1*f2   a=20x^3*(1+36x^6+9x^4+4x^2)^(3/2)/(12x*(25x^8+1)^(3/2))

a*k1*k2=k3=20x^3/(1+25x^8)^(3/2), richtig!

Damit wurde das Krümmungsverhalten der Resultierenden aus dem Krümmungsverhalten von zwei Einzelfunktionen bestimmt.




Berechnung des Integrals einer Funktion von Innen nach Außen, Funktionsauflösung


Problem/Ansatz:

F(x)=t*(u)'*Integral r(x)dx, t ist eine Konstante, u(r(x)) ist eine Funktion

F(x)=Integral (x-5x^3)^2 dx=Integral(x*(1-5x^2))^2=25/7x^7-2x^5+x^3/3

innere Funktion: a(x)=1-5x^2, Integral a(x)dx=x-5/3x^3=F1(x)

nächste innere Funktion:           Integral xdx=1/2x^2=F2(x)         

Produkt dieser Ergebnisse: a(x)*F1(x)*F2(x)=s(x)

äußere Gesamtfunktion Ableiten:    Faktor 2, daraus folgt: 2*s(x)=(25/6x^7-20/6x^5+1/2x^3)*2

konstante Faktoren: k*25/3*x^7-l*20/3*x^5+m*x^3=F(x), daraus folgt:

()'=k*7*25/3*x^6-l*5*20/3*x^4+m*3*x^2=(x-5x^3)^2=25x^6-10x^4+x^2

Koeffizientenvergleich ergibt: k=3/7, l=3/10, m=1/3

F(x)=F(x)