Es soll ein zweidimensionaler Vektor durch eine eindimensionale Gleichung dargestellt werden...., durch ein einfaches Beispiel, die dritte Dimension entfällt, vz!
v Vektor =1/3x*(4-x)^(1/4)/(4-x)^(1/4)*(x-1)^(1/4)/(x-1)^(1/4)+5/3
Der Vektor ist durch seinen Betrag und seine Richtung festgelegt, diese Forderungen erfüllt diese Gleichung!
v Vektor =1/3*x
a Vektor =2x
b Vektor =3/4*x
b Vektor= a Vektor + v Vektor =1/((delta ya Vektor*2)*(delta yv Vektor*1/3))*x
..... in den jeweiligen Gültigkeitsgrenzen (Definitionsbereichen)....
Die Winkel zwischen den Vektoren können relativ einfach über die jeweiligen Anstiege (tan(ß)) der Einzelvektoren berechnet werden (das sog. Skalarprodukt)!
Die Beträge der Vektoren wiederum können mit den jeweiligen Anstiegswinkeln der Vektoren und Ihrem Definitionsbereich (cos(ß)) berechnet werden!
Problem/Ansatz:
folgende Vorüberlegungen wurden genutzt: Siehe weiter oben!
f1Vektor=f2Vektor+f3Vektor
die quadratischen Vektoren haben die gleiche Richtung, jedoch unterschiedliche Beträge:
f2Vektor=x^2*(1-x)^(1/2)/(1-x)^(1/2)*x^(1/2)/x^(1/2)*tan(1,3) tan(1,3)=3,60210
f1Vektor=x^2*(1-x)^(1/2)/(1-x)^(1/2)*x^(1/2)/x^(1/2)
Schnittpunkt f2Vektor=x y=x, daraus folgt: xs=1/3,60210=0,2776158=ys
damit ergibt sich der f2Vektor=x^2*(xs-x)^(1/2)/(xs-x)^(1/2)*x^(1/2)/x^(1/2)*tan(1,3)
Integral k2 dx von 0 bis 0,2776158 =0,894427 k2=Krümmung von f2Vektor
Integral k1 dx von 0 bis 1 =0,894427 k1=Krümmung von f1Vektor
siehe weiter unten: Integral k3 dx von 0,2776158 bis 1 =0,894427 k3=Krümmung von f3Vektor
f1Vektor=x^2/(delta y2*m2*delta y3*m3), siehe Gleichung Vorüberlegungen
m3=x^2/(f1Vektor*0,2776158*tan(1,3)*(1-0,2776158))=1,3843051, daraus folgt:
f3Vektor=(x-0,2776158)^2*(1-x)^(1/2)/(1-x)^(1/2)*(x-0,2776158)^(1/2)/(x-0,2776158)^(1/2)*1,3843051+0,2776158
Kontrolle der Beträge/Bogenlängen der Vektoren:
s1=Integral (1+y'^2)^(1/2) dx s1=1,478942
s2=0,41057787
s3=1,068365
s1=s2+s3 ,richtig, die Beträge der quadratischen Vektoren stimmen überein...., die Richtung war ja gleich, von mir festgelegt
Die Richtung der Vektoren kann durch eine Drehung am Schnittpunkt von y=x, dem f2Vektor und dem f3Vektor vorgenommen werden.
Damit wurde bewiesen daß f1Vektor=f2Vektor+f3Vektor ist!
Ich glaube, daß die Vektoren immer die gleichen, gemeinsamen Eigenschaften, hier quadratisch, haben müssen!
Aufgabe:
Berechnung des resultierenden quadratischen Vektors aus 2 ungleichen (Richtungen und Beträge) Vektoren
Problem/Ansatz:
Berechnung eines quadratischen, eindimensional dargestellten Vektors aus zwei aneinander grenzenden unterschiedlichen, von Betrag und der Richtung, Einzelvektoren, ebenfalls quadratisch....
vorgegeben: f2Vektor=x^2*tan(1.3)*tan(pi/8) Sekante des Vektors=dessen Richtung: y2Sekante=x=x^2*tan(1.3)*tan(pi/8)
Schnittpunkte: xs1=0, xs2=0.67022346, daraus folgt: f2Vektor=x^2*tan(1.3)*tan(pi/8)*x^(1/2)/x^(1/2)*(0.67022346-x)^(1/2)/(0.67022346-x)^(1/2)
f3Vektor=(x-0.67022346)^2*(2-x)^(1/2)/(2-x)^(1/2)*(x-0.67022346)^(1/2)/(x-0.67022346)^(1/2)*tan(pi/8)+0.67022346, ...willkürlich festgelegt...
Sekante des Vektors f3: Funktionswert ermitteln für den Punkt P(2,y) y=(2-0.67022346)^2*tan(pi/8)+0.67022346 y=1.402679, richtig
Sekante: y=mx+n m=delta y/ delta x, daraus folgt: (1.4029-0.67022346)/(2-0.67022346)=m m=0.551045 y3Sekante=0.551045*(x-0.67022346)+0.67022346
Sekante des noch zu ermittelnden resultierenden Vektors: y1Sekante=1.4029/2*x=0.70145*x=m*x, richtig
Berechnung des resultierenden Vektors f1Vektor:
y3Sekante(x=2)=0.551045*(x-0.67022346)+0.67022346 y3=1.402679,
1.402679=m1*x^2, mit x=2, m1=0.35067,
damit ergibt sich der Vektor f1vektor=0.35067*x^2*x^(1/2)/x^(1/2)*(2-x)^(1/2)/(2-x)^(1/2)
Kontrolle der Bogenlängen mit dem errechneten Wert: s1=2.5546921 s2=0.9912222 s3=1.5634699
es muß gelten: s1=s2+s3, denn f1Vektor=f2Vektor+f3Vektor
Das ist für den errechneten f1Vektor
ziemlich genau!!!
Die resultierende Richtung des Vektor's 1 muß sich aus der Summe des Vektor's 2
und des Vektor's 3, dividiert durch 2,
ergeben, siehe weiter oben, bei der
Addition zweier Vektoren mit gleicher Richtung!
Die resultierende Richtung des Vektor's wiederum
ergibt sich aus dem Integral der Krümmung des Einzelvektor's.
Krümmung k=y''/(1+(y')2)(3/2)
Integral k1=0.814258Integral einer komplexen Zahl als allgemeingültige Aussage für den Flächeninhalt eines Dreiecks bzw. einer Ellipse...., Produktverfahren
Problem/Ansatz:
Fläche eines Dreiecks, rechtwinklig A=a*b*1/2
komplexe Zahl, die das Dreieck darstellt: z=a+ib=a*(1+1/k*i) k=a/b
Integral z(a) da=a2/2*(1+1/k*i)=z2=a2+b2*i |z2|=((a2/2)2+(a2/2*1/k)2)1/2=(a22+b22)1/2
|z2|=1/2*(a4+a4*b2/a2)1/2=1/2*a*(a2+b2)1/2
Ansatz: A=a*b*1/2=|z2|*s2 , daraus folgt: s2=b/(a2+b2)1/2
Beispiel: a=5 b=8 s2=8/(25+64)1/2=0,84799
z=5+8i
z2=12,5+20i=a2+b2i |z2|=23,585
s2=a*b*1/2*1/|z2|=0,84799
Damit habe ich eine allgemeingültige Aussage für die Berechnung der Fläche eines Dreiecks durch die Integration einer komplexen Zahl getroffen.
Ellipse: s2=cos(tan-1(b/a))*b/a*2 mit s2*|z2|*pi=a*b*pi=A , auch dies ist allgemeingültig für jede Ellipse
Eine Formel für die Berechnung einer Fläche eines beliebigen Körpers durch die Integration einer komplexen Zahl, hier für eine Ellipse...., Einsetzungsverfahren
Problem/Ansatz:
Ellipse: y^2/b^2+x^2/a^2=1 x=a*cos(ß) y=b*sin(ß)
z=x+y*i=a+b*i=a*(1+k*i) k=Konstante=b/a Integral z(a) da=a^2/2*(1+k*i)=x^2/2+x/2*y*i , Einsetzen (x,y) ergibt für die
Halbachsen a=8, b=5 z=8+5*i
Integral z dz= a^2*cos^2(ß)/2+cos(ß)/2*a*b*sin(ß)*i
4* Integral von 0 bis pi/4 z dz=-64+40i=A1
4* Integral von pi/4 bis pi/2 z dz=64-40i=A2
Viertelellipse, in zwei Bereiche geteilt, mal 4 ergibt die Fläche der vollständigen Ellipse
|A1|+|A2|=A4=128+80i=2*|A1|=2*|A2|
4* Integral von 0 bis pi/2 z dz=4*|(a^2*cos^2(ß)/2+cos(ß)/2*sin(ß)*a*b*i)|von 0 bis pi/2=|a4+b4*i|
|a4/a+b4/a|=t t*pi/2=pi/2*|a4/a+b4/a|
daraus folgt: pi/2*1/2*|a4/a*b4/a|=pi/2*1/2*128/8*80/8=A=a*b*pi=5*8*pi=125,66370
.....habe dies auch für einen Kreis und ein Dreieck durchgeführt....,mit einem korrekten Ergebnis!