Eindimensionale Darstellung eines zweidimensionalen Vektors



Es soll ein zweidimensionaler Vektor durch eine eindimensionale Gleichung dargestellt werden...., durch ein einfaches Beispiel, die dritte Dimension entfällt, vz!





v Vektor =1/3x*(4-x)^(1/4)/(4-x)^(1/4)*(x-1)^(1/4)/(x-1)^(1/4)+5/3

Der Vektor ist durch seinen Betrag und seine Richtung festgelegt, diese Forderungen erfüllt diese Gleichung!



v Vektor =1/3*x

a Vektor =2x

b Vektor =3/4*x

b Vektor= a Vektor + v Vektor =1/((delta ya Vektor*2)*(delta yv Vektor*1/3))*x

..... in den jeweiligen Gültigkeitsgrenzen (Definitionsbereichen)....

Die Winkel zwischen den Vektoren können relativ einfach über die jeweiligen Anstiege (tan(ß)) der Einzelvektoren berechnet werden (das sog. Skalarprodukt)!

Die Beträge der Vektoren wiederum können mit den jeweiligen Anstiegswinkeln der Vektoren und Ihrem Definitionsbereich (cos(ß)) berechnet werden!





Addition zweier quadratischer Vektoren gleicher Richtung


Problem/Ansatz:

folgende Vorüberlegungen wurden genutzt: Siehe weiter oben!


f1Vektor=f2Vektor+f3Vektor

die quadratischen Vektoren haben die gleiche Richtung, jedoch unterschiedliche Beträge:

f2Vektor=x^2*(1-x)^(1/2)/(1-x)^(1/2)*x^(1/2)/x^(1/2)*tan(1,3)   tan(1,3)=3,60210

f1Vektor=x^2*(1-x)^(1/2)/(1-x)^(1/2)*x^(1/2)/x^(1/2)

Schnittpunkt f2Vektor=x   y=x, daraus folgt: xs=1/3,60210=0,2776158=ys

damit ergibt sich der f2Vektor=x^2*(xs-x)^(1/2)/(xs-x)^(1/2)*x^(1/2)/x^(1/2)*tan(1,3)

Integral k2 dx von 0 bis 0,2776158 =0,894427     k2=Krümmung von f2Vektor

Integral k1 dx von 0 bis 1 =0,894427                    k1=Krümmung von f1Vektor

siehe weiter unten: Integral k3 dx von 0,2776158 bis 1 =0,894427    k3=Krümmung von f3Vektor

f1Vektor=x^2/(delta y2*m2*delta y3*m3), siehe Gleichung Vorüberlegungen

m3=x^2/(f1Vektor*0,2776158*tan(1,3)*(1-0,2776158))=1,3843051, daraus folgt:

f3Vektor=(x-0,2776158)^2*(1-x)^(1/2)/(1-x)^(1/2)*(x-0,2776158)^(1/2)/(x-0,2776158)^(1/2)*1,3843051+0,2776158

Kontrolle der Beträge/Bogenlängen der Vektoren:

s1=Integral (1+y'^2)^(1/2) dx   s1=1,478942

s2=0,41057787

s3=1,068365

s1=s2+s3 ,richtig, die Beträge der quadratischen Vektoren stimmen überein...., die Richtung war ja gleich, von mir festgelegt

Die Richtung der Vektoren kann durch eine Drehung am Schnittpunkt von y=x, dem f2Vektor und dem f3Vektor vorgenommen werden.

Damit wurde bewiesen daß f1Vektor=f2Vektor+f3Vektor ist!

Ich glaube, daß die Vektoren immer die gleichen, gemeinsamen Eigenschaften, hier quadratisch, haben müssen!






Addition zweier quadratischer Vektoren unterschiedlicher Richtung



Aufgabe:

Berechnung des resultierenden quadratischen Vektors aus 2 ungleichen (Richtungen und Beträge) Vektoren

Problem/Ansatz:


Berechnung eines quadratischen, eindimensional dargestellten Vektors aus zwei aneinander grenzenden unterschiedlichen, von Betrag und der Richtung, Einzelvektoren, ebenfalls quadratisch....
vorgegeben: f2Vektor=x^2*tan(1.3)*tan(pi/8)    Sekante des Vektors=dessen Richtung: y2Sekante=x=x^2*tan(1.3)*tan(pi/8)
Schnittpunkte: xs1=0, xs2=0.67022346, daraus folgt: f2Vektor=x^2*tan(1.3)*tan(pi/8)*x^(1/2)/x^(1/2)*(0.67022346-x)^(1^/2)/(0.67022346-x)^(1/2)
f3Vektor=(x-0.67022346)^2*(2-x)^(1/2)/(2-x)^(1/2)*(x-0.67022346)^(1/2)/(x-0.67022346)^(1/2)*tan(pi/8)+0.67022346, ...willkürlich festgelegt...
Sekante des Vektors f3: Funktionswert ermitteln für den Punkt P(2,y)   y=(2-0.67022346)^2*tan(pi/8)+0.67022346 y=1.4029, richtig
Sekante: y=mx+n m=delta y/ delta x, daraus folgt: (1.4029-0.67022346)/(2-0.67022346)=m m=0.551045 y3Sekante=0.551045*(x-0.67022346)+0.67022346
Sekante des noch zu ermittelnden resultierenden Vektors: y1Sekante=1.4029/2*x=0.70145*x=m*x, richtig
Berechnung des resultierenden Vektors f1Vektor:
Ansatz(?):


k=m2Sekante*tan(1.3)*tan(pi/8)*m3Sekante*tan(pi/8)=0.3405585253810402, damit ergibt sich der Vektor
f1vektor=0.3405585253810402*x^2*x^(1/2)/x^(1/2)*(2-x)^(1/2)/(2-x)^(1/2)  und dies ist dann ungenau.... graphisch gelöst: 0.3505585253810402
Kontrolle der Bogenlängen mit dem errechneten Wert: s1=2.4320 s2=0.9907725 s3=1.5637692
es muß gelten: s1=s2+s3, denn f1Vektor=f2Vektor+f3Vektor
Das ist für den errechneten f1Vektor etwas ungenau!!! Das Verhältnis des Sekantenanstieges, der resultierenden Richtung des Vektors, zum Integral der Krümmungen wird auf Grund dieser Ungenauigkeit nicht überprüft.....!







Integration einer komplexen Funktion, mit dem Ergebnis einer komplexen Kreisfläche



Problem/Ansatz:

z=a+ib  k=a/b  z=a+i*a/k  z(a)=a*(1+i/k)

Integral z(a) da=1/2*a^2+i*1/2*a^2*1/k=F1(a)=m+ip

Beispiel Kreisfläche:

r=10   A2=pi*r^2=314,159 

F1=m+ip=50+i*50=|z|*(cos(ß)+i*sin(ß))    k=1  ß=arctan(1)=arctan(b/a)=0,785

F1=70,711*(cos(0,785)+i*sin(0,785))

und jetzt kommt die Gleichung, die ich nicht hergeleitet habe, die jedoch für einen Kreis stimmen sollte:

pi*|z|/(cos(ß))=A1, es folgt A1=A2=314,159

habe nun denselben Rechenweg für eine Ellipse mit a=3 und b=4 durchgeführt und bin grandios gescheitert...